Question

(2013·杭州模擬)已知數列{a_n}的前n項和S_n＝－a_n－^n－1＋2(n∈N^*)，數列{b_n}滿足b_n＝2ⁿa_n．
(1)求證數列{b_n}是等差數列，并求數列{a_n}的通項公式．
(2)設數列的前n項和為T_n，證明：n∈N^*且n≥3時，T_n＞．
(3)設數列{c_n}滿足a_n(c_n－3ⁿ)＝(－1)^n－1λn(λ為非零常數，n∈N^*)，問是否存在整數λ，使得對任意n∈N^*，都有c_n＋1＞c_n．

Answer 1

（1）a_n＝(n∈N^*)
（2）見解析
（3）存在整數λ＝－1，使得對任意n∈N^*有c_n＋1＞c_n．

(1)在S_n＝－a_n－^n－1＋2中，令n＝1，可得S₁＝－a₁－1＋2＝a₁，即a₁＝，
當n≥2時，S_n－1＝－a_n－1－^n－2＋2，
所以a_n＝S_n－S_n－1＝－a_n＋a_n－1＋^n－1，
所以2a_n＝a_n－1＋^n－1，即2ⁿa_n＝2^n－1a_n－1＋1．
因為b_n＝2ⁿa_n，所以b_n＝b_n－1＋1，即當n≥2時，b_n－b_n－1＝1．
又b₁＝2a₁＝1，所以數列{b_n}是首項和公差均為1的等差數列．
于是b_n＝1＋(n－1)·1＝n＝2ⁿa_n，
所以a_n＝(n∈N^*)．
(2)由(1)得c_n＝a_n＝(n＋1)ⁿ，
所以T_n＝2×＋3ײ＋4׳＋…＋(n＋1)ⁿ，①
T_n＝2ײ＋3׳＋4×⁴＋…＋(n＋1)^n＋1．②
由①－②得T_n＝1＋²＋³＋…＋ⁿ－(n＋1)^n＋1
＝1＋－(n＋1)^n＋1
＝－，
所以T_n＝3－，
T_n－＝3－－
＝，
于是確定T_n與的大小關系等價于比較2ⁿ與2n＋1的大小，
由2＜2×1＋1；2²＜2×2＋1；2³＞2×3＋1；2⁴＞2×4＋1；2⁵＞2×5＋1；…
可猜想當n≥3時，2ⁿ＞2n＋1，證明如下：
方法一：①當n＝3時，對上式驗算顯示成立．
②假設當n＝k時成立，則n＝k＋1(k≥2)時，
2^k＋1＝2·2^k＞2(2k＋1)＝4k＋2＝2(k＋1)＋1＋(2k－1)＞2(k＋1)＋1，
所以當n＝k＋1時猜想也成立．
綜合①②可知，對一切n≥3的正整數，都有2ⁿ＞2n＋1．
方法二：當n≥3時，
2ⁿ＝(1＋1)ⁿ＝＋＋＋…＋＋≥＋＋＋＝2n＋2＞2n＋1，
綜上所述，當n≥3時，T_n＞．
(3)因為c_n＝3ⁿ＋＝3ⁿ＋(－1)^n－1λ·2ⁿ，
所以c_n＋1－c_n＝[3^n＋1＋(－1)ⁿλ·2^n＋1]－[3ⁿ＋(－1)^n－1λ·2ⁿ]
＝2·3ⁿ－3λ(－1)^n－1·2ⁿ＞0，
所以(－1)^n－1·λ＜^n－1．①
當n＝2k－1(k＝1,2,3，…)時，①式即為λ＜^2k－2，②
依題意，②式對k＝1,2,3，…都成立，所以λ＜1，
當n＝2k，k＝1,2,3，…時，①式即為λ＞－^2k－1，③
依題意，③式對k＝1,2,3，…都成立，
所以λ＞－，所以－＜λ＜1，又λ≠0，
所以存在整數λ＝－1，使得對任意n∈N^*有c_n＋1＞c_n．