Question

【題目】（本小題共13分）

如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直。

EF//AC，AB=,CE=EF=1

（Ⅰ）求證：AF//平面BDE；

（Ⅱ）求證：CF⊥平面BDF;

Answer 1

【答案】（共13分）

證明：（Ⅰ）設(shè)AC于BD交于點(diǎn)G。因?yàn)?/span>EF∥AG,且EF=1，AG=AG=1

所以四邊形AGEF為平行四邊形

所以AF∥EG

因?yàn)?/span>EG平面BDE,AF平面BDE,

所以AF∥平面BDE

（Ⅱ）連接FG。因?yàn)?/span>EF∥CG,EF=CG=1,且CE=1,所以平行四邊形CEFG為菱形。所以CF⊥EG.

因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD為正方形，所以BD⊥AC.又因?yàn)槠矫?/span>ACEF⊥平面ABCD,且平面ACEF∩平面ABCD=AC,所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG=G,所以CF⊥平面BDE.

【解析】

證明:(1)設(shè)AC與BD交于點(diǎn)G.

因?yàn)?/span>EF∥AG,

且EF=1,AG=AC=1,

所以四邊形AGEF為平行四邊形.

所以AF∥EG.

因?yàn)?/span>EG平面BDE,AF平面BDE,

所以AF∥平面BDE.

(2)連接FG.

因?yàn)?/span>EF∥CG,EF=CG=1,且CE=1,

所以四邊形CEFG為菱形.

所以CF⊥EG.

因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD為正方形,所以BD⊥AC.

又因?yàn)槠矫?/span>ACEF⊥平面ABCD,

且平面ACEF∩平面ABCD=AC,

所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.

又BD∩EG=G,所以CF⊥平面BDE.