Question

【題目】已知點A（0，﹣2），橢圓E： + =1（a＞0，b＞0）的離心率為 ，F是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為 ，O是坐標原點．
（1）求E的方程；
（2）設過點A的直線l與E相交于P，Q兩點，當△OPQ的面積最大時，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：設F（c，0），由條件知 ，得 ，又 ，

∴a=2，b2=a2﹣c2=1，

故E的方程為：

（2）解：當l⊥x軸時，不合題意，

故設l：y=kx﹣2，p（x1，y1），Q（x2，y2），

聯立 ，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0．

當△=16（4k2﹣3）＞0，即 時，

， ．

從而 ．

又點O到直線PQ的距離 ．

∴△OPQ的面積為 ，

設 ，

則 ，當且僅當 ，即t=2時取“=”．

∴ ，即 時等號成立，且滿足△＞0，

∴當△OPQ的面積最大時，l的方程為 或

【解析】（1）設F（c，0），由已知得 ，求得c，再由離心率求得a，結合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；（2）由題意可知，當l⊥x軸時，不合題意，設l：y=kx﹣2，聯立直線方程與橢圓方程，求出P、Q的橫坐標，代入弦長公式求得|PQ|，再由點到直線的距離公式求得O到PQ的距離，代入三角形面積公式，換元后利用基本不等式求最值，同時求得當△OPQ的面積最大時直線l的方程．