Question

如圖，已知平行六面體ABCD-的底面ABCD是菱形，且===．

（I）證明：⊥BD；

（II）假定CD=2，=，記面為，面CBD為，求二面角 的平面角的余弦值；

（III）當的值為多少時，能使平面？請給出證明．

Answer 1

（Ⅰ）證明：連結A₁C₁、AC、AC和BD交于O，連結C₁O．

∵ 四邊形ABCD是菱形，∴ AC⊥BD，BD=CD．

又∵∠BCC₁=∠DCC₁，C₁C= C₁C，

∴ △C₁BC≌△C₁DC∴ C₁B=C₁D，

∵ DO=OB∴ C₁O⊥BD，                                                     

但AC⊥BD，AC∩C₁O=O，∴ BD⊥平面AC₁，

又C₁C平面AC₁∴ C₁C⊥BD．                                                     

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知AC⊥BD，C₁O⊥BD，

∴ ∠C₁OC是二面角α-BD-β的平面角．

在△C₁BC中，BC=2，C₁C=，∠BCC₁=60º，

∴ C₁B²=2²＋（）²－2×2××cos60º=                           

∵ ∠OCB=30º，

∴ OB=BC=1．

∴C₁O²= C₁B²－OB²=，∴ C₁O=即C₁O= C₁C．

作 C₁H⊥OC，垂足為H．∴ 點H是OC的中點，且OH=，

所以cos∠C₁OC==．                                        

（Ⅲ）當=1時，能使A₁C⊥平面C₁BD

證明一：

∵ =1，∴ BC=CD= C₁C，

又∠BCD=∠C₁CB=∠C₁CD，由此可推得BD= C₁B = C₁D．

∴ 三棱錐C－C₁BD是正三棱錐．                                   

設A₁C與C₁O相交于G．

∵ A₁ C₁∥AC，且A₁ C₁∶OC=2∶1，∴ C₁G∶GO=2∶1．

又C₁O是正三角形C₁BD的BD邊上的高和中線，

∴ 點G是正三角形C₁BD的中心，∴ CG⊥平面C₁BD．即A₁C⊥平面C₁BD．                                               

證明二：

由（Ⅰ）知，BD⊥平面AC₁，

∵ A₁ C平面AC₁，∴BD⊥A₁ C． 

當=1時，平行六面體的六個面是全等的菱形，同BD⊥A₁ C的證法可得BC₁⊥A₁C，

又BD⊥BC₁=B，∴ A₁C⊥平面C₁BD．