Question

（1）直線l：y=x+b與拋物線C：x²=4y相切于點A，求實數b的值，及點A的坐標．
（2）在拋物線y=4x²上求一點，使這點到直線y=4x-5的距離最短．

Answer 1

分析：（1）直線方程與拋物線方程聯立，利用△=0，即可求實數b的值，及點A的坐標．
（2）設拋物線y=4x²上一點的坐標，求出這點到直線y=4x-5的距離，利用配方法可求最短距離，即可得出結論．

解答：解：（1）由

y=x+b x2=4y

得x²-4x-4b=0①． 
因為直線l與拋物線C相切，所以△=16+16b=0，解得b=-1；
代入方程①即為x²-4x+4=0，解得x=2，所以y=1，
故點A（2，1）．
（2）設點P（t，4t²），距離為d，
則d=

|4t-4t2-5|

17

=

|4(t- 1 2 )2+4|

17

當t=

1

2

時，d取得最小值，此時P（

1

2

，1）為所求的點．

點評：本題考查直線與拋物線的位置關系，考查點到直線的距離公式的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．