Question

【題目】設函數f（x）=x2﹣ax（a＞0，且a≠1），g（x）=f′（x）（其中f′（x）為f（x）的導函數）．
（1）當a=e時，求g（x）的極大值點；
（2）討論f（x）的零點個數．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=e時，g（x）=2x﹣ex，g′（x）=2﹣ex，

令g′（x）=0得：2﹣ex=0，解得x=ln2，

∴當x＜ln2時，g′（x）＞0；當x＞ln2時，g′（x）＜0，

∴g（x）的極大值點為ln2．

（2）解：（Ⅰ）當a＞1時，f′（x）=2x﹣lnaax，

∴當x≤0時，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，0）上為減函數，

∵f（﹣1）=1﹣ ＞0，f（0）=﹣1＜0，

∴f（x）在（0，+∞）有一個零點；

當x＞0時，令f（x）=0得x2=ax，即lna= ，

令h（x）= ，則h′（x）= ．

∴當0＜x＜e時，h′（x）＞0；當x＞e時，h′（x）＜0，

∴h（x）在（0，e）上單調遞增，在（e，+∞）上單調遞減，

做出y=h（x）的圖象如下圖，

由圖象可知：

①當lna＞ 即a＞e 時，f（x）在（0，+∞）上無零點；

②當lna= 即a=e 時，f（x）在（0，+∞）上有1個零點；

③當0＜lna＜ 即1＜a＜e 時，f（x）在（0，+∞）上有2個零點；

（Ⅱ）當0＜a＜1時，f′（x）=2x﹣lnaax，

∴當 x＞0時，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函數，

∵f（0）=﹣l＜0，f（1）=1﹣a＞0，

∴f（x）在（0，+∞）上有1個零點；

當x＜0時，令f（x）=0得lna= ，

令H（x）= ，則H′（x）= ，

∴當﹣e＜x＜0時，H′（x）＞0，當x＜﹣e時，H′（x）＜0，

∴H（x）在（﹣∞，﹣e）上單調遞減，在（﹣e，0）上單調遞增，

作出y=H（x）的函數圖象如圖：

由圖象可知：

當lna＜﹣ 即0 時，f（x）在（﹣∞，0）上無零點；

當lna=﹣ 即a=e 時，f（x）在（﹣∞，0）上有1個零點；

當﹣ ＜lna＜0即e ＜a＜1時，f（x）在（﹣∞，0）上有2個零點；

綜上：

①當0＜a＜e 或a＞e 時，f（x）有1個零點；

②當a=e 或a=e 時，f（x）有2個零點；

③當e ＜a＜1或1＜a＜e 時，f（x）有3個零點．

【解析】（1）令g′（x）=0求出g（x）的極值點，判斷g′（x）的符號變化即可得出答案；（2）f′（x）=2x﹣lnaax ， 對a和x進行討論，利用零點的存在性定理，結合函數的圖象判斷零點的個數．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．