Question

已知有公共焦點的橢圓與雙曲線中心在原點，焦點在x軸上，左、右焦點分別為F₁，F₂，且它們在第一象限的交點為P，△PF₁F₂是以PF₁為底邊的等腰三角形．若PF₁=10，雙曲線的離心率的取值范圍為（1，2），則該橢圓的離心率的取值范圍是

（

1

3

，

2

5

）

．

Answer 1

分析：設橢圓的長半軸為a₁，雙曲線的半實軸長為a₂，它們公共的焦距為2c，|PF₂|=n，根據橢圓與雙曲線的定義建立方程組解出a₁=5+c且a₂=5-c，得到雙曲線的離心率為

c

5-c

∈（1，2），由此解出c的范圍再代入橢圓離心率的表達式，利用不等式的性質加以計算，可得該橢圓的離心率的取值范圍．

解答：解：如圖，設橢圓的長半軸為a₁，雙曲線的半實軸長為a₂，
它們公共的焦距為2c，|PF₂|=n，
∵|PF₁|=10，△PF₁F₂是以PF₁為底邊的等腰三角形．
∴由橢圓與雙曲線的定義，得

10+n=2a1 10-n=2a2 n=2c

，解之得

a1=5+c a2=5-c

，
∵雙曲線的離心率的取值范圍為（1，2），∴1＜

c

5-c

＜2，
設

c

5-c

=x，可得c=

5x

1+x

，
從而得到橢圓的離心率e=

c

5+c

=

x

2x+1

=

1

2

-

1

4x+2

．
由1＜x＜2，可得

1

2

-

1

6

＜

1

2

-

1

4x+2

＜

1

2

-

1

10

，即

1

3

＜

1

2

-

1

4x+2

＜

2

5

．
即該橢圓的離心率的取值范圍是（

1

3

，

2

5

）．
故答案為：（

1

3

，

2

5

）

點評：本題給出有公共焦點的橢圓與雙曲線，在雙曲線離心率的取值范圍為（1，2）時求橢圓的離心率的取值范圍．著重考查了橢圓、雙曲線的定義與標準方程，利用不等式的基本性質求變量取值范圍等知識，屬于中檔題．