Question

【題目】定義在上的函數滿足，且.當時， .

（1）求在上的解析式；

（2）證明在上是減函數；

（3）當取何值時，方程在上有解.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3），或，或.

【解析】試題分析：（1）設，則結合f（-x）=-f（x），及x∈（0，1）時， ，，可求x∈（-1，0）時得f（x），在f（-x）=-f（x）中可求f（0）=0
（2）利用函數的單調性的定義證明即可．
（3）方程在上有解的充要條件是， 在函數， 的值域內取值，只需求出函數的值域，然后求解k的范圍．

試題解析：

（1）設，則.

∵，且時， ，

∴時，有.

在中，令得

.

∵， ，令，

得，

∴，從而，

∴當時，有

.

（2）設，則，

.

∵，∴，

∴，且，

∴， .

又∵，

∴，

即，∴在上是減函數.

（3）方程在上有解的充要條件是， 在函數， 的值域內取值.

∵時， 是減函數，

∴時， ，

即.

∵，∴時，

.

又，

∴時，函數的值域為.

∴當，或，或時，方程在上有解.