Question

某研究小組在電腦上進行人工降雨摸擬試驗，準備用A、B、C三種人工降雨方式分別對甲、乙、丙三地實施人工降雨，其試驗數據統計如下：

方式	實施地點	大雨	中雨	小雨	摸擬試驗總次數
A	甲	4次	6次	2次	12次
B	乙	3次	6次	3次	12次
C	丙	2次	2次	8次	12次

假設甲、乙、丙三地實施的人工降雨彼此互不影響．
（1）求甲、乙兩地恰為中雨且丙地為小雨的概率；
（2）考慮到旱情和水土流失，如果甲地恰需中雨即能達到理想狀態，乙地必須是大雨才能達到理想狀態，丙地只要是小雨或中雨就能達到理想狀態，求降雨量達到理想狀態的地方個數的概率分布與期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,古典概型及其概率計算公式

專題：概率與統計

分析：（1）利用相互獨立事件同時發生的概率計算公式能求出甲、乙兩地恰為中雨且丙地為小雨的概率．
（2）由題意知ξ=0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出降雨量達到理想狀態的地方個數的概率分布與期望．

解答： 解：（1）甲、乙兩地恰為中雨且丙地為小雨的概率：
p=

6

12

×

6

12

×

2

12

=

1

24

（2）由題意知ξ=0，1，2，3，
P（ξ=0）=（1-

6

12

）（1-

3

12

）（1-

10

12

）=

3

48

，
P（ξ=1）=

6

12

（1-

3

12

）（1-

10

12

）+（1-

6

12

）•

3

12

（1-

10

12

）+（1-

6

12

）（1-

3

12

）•

10

12

=

19

48

，
P（ξ=2）=

6

12

•

3

12

•（1-

10

12

）+（1-

6

12

）•

3

12

•

10

12

+

6

12

•（1-

3

12

）•

10

12

=

21

48

，
P（ξ=3）=

6

12

•

3

12

•

10

12

=

5

48

，

ξ	0	1	2	3
P	3 48	19 48	21 48	5 48

Eξ=0×

3

48

+1×

19

48

+2×

21

48

+3×

5

48

=

19

12

．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題．