Question

【題目】已知橢圓以坐標原點為中心，焦點在軸上，焦距為2，且經過點.

（1）求橢圓的方程；

（2）設點，點為曲線上任一點，求點到點距離的最大值；

（3）在（2）的條件下，當時，設的面積為（O是坐標原點，Q是曲線C上橫坐標為a的點），以為邊長的正方形的面積為，若正數滿足，問是否存在最小值，若存在，請求出此最小值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2） (3) m存在最小值

【解析】

（1）根據已知求出a，b，c值，可得橢圓C的方程；（2）設P（x，y），則y2＝2﹣2x2，利用兩點間的距離公式可得|PA|2＝（x﹣a）2+y2＝（x﹣a）2+2﹣2x2，轉為二次函數求最值問題；（3）由題意分別表示出S1及S2，對不等式S1≤mS2進行變量分離得到，令，通過換元t＝a2+1轉為二次函數求最值問題．

（1）由題意知c=1,又過點（1,0）所以b=1,故a=,則橢圓方程為.

（2）設，則

令，

所以當時在[-1，1]上是減函數，

；

當時，在上是增函數，

在上是減函數，則；

當時，在上是增函數；

所以.

（3）當時，，

.

若正數m滿足條件，

則，即，

，令，

設，則，.

，

所以，當，即時，

即，.所以，m存在最小值

【另解】

由，得，

而

當且僅當，

即，等號成立，∴

從而，故m的最小值為