Question

已知直線l的方程為x=-2，且直線l與x軸交于點M，
圓O：x²+y²=1與x軸交于A，B兩點．
（Ⅰ）過M點的直線l₁交圓于P、Q兩點，且圓孤PQ恰為圓周的

1

4

，求直線l₁的方程；
（Ⅱ）求以l為準線，中心在原點，且與圓O恰有兩個公共點的橢圓方程；
（Ⅲ）過M點的圓的切線l₂交（Ⅱ）中的一個橢圓于C、D兩點，其中C、D兩點在x軸上方，求線段CD的長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）有題意及所給的圖形，分析出點O到直線的距離為

2

2

，利用點到直線的距離公式列出直線關于斜率k的方程進而求解即可；
（Ⅱ）由題意，設出所求的橢圓的標準方程利用已知條件建立未知量的方程求解就行了；
（Ⅲ）由題意設出直線l₂的方程，與（Ⅱ）中的橢圓方程聯立，設出點C與D的坐標，利用兩點間的距離公式即可．

解答：解：（Ⅰ）∵PQ為圓周的

1

4

，∴∠POQ=

π

2

．∴O點到直線l₁的距離為

2

2

．
設l₁的方程為y=k（x+2），∴

|2k|

k2+1

=

2

2

，∴k2=

1

7

．∴l₁的方程為y=±

7

7

(x+2)．

（Ⅱ）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，半焦距為c，則

a2

c

=2．
∵橢圓與圓O恰有兩個不同的公共點，則a=1或b=1．
當a=1時，c=

1

2

，b2=a2-c2=

3

4

，∴所求橢圓方程為x2+

4y2

3

=1；
當b=1時，b²+c²=2c，∴c=1，∴a²=b²+c²=2．∴所求橢圓方程為

x2

2

+y2=1．

（Ⅲ）設切點為N，則由題意得，橢圓方程為

x2

2

+y2=1，
在Rt△MON中，MO=2，ON=1，則∠NMO=30°，
∴l₂的方程為y=

3

3

(x+2)，代入橢圓

x2

2

+y2=1中，整理得5x²+8x+2=0．
設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則x1+x2=-

8

5

，x1x2=

2

5

．∴CD=

(1+ 1 3 )[(x1+x2)2-4x1x2]

=

4 3 ( 64 25 - 8 5 )

=

4

5

2

．

點評：（Ⅰ）此問重點考查了方程的思想，還考查了利用已知條件建立未知量的方程及解方程的技巧；
（Ⅱ）問重點考查了方程的思想，還考查了橢圓的基本性質；
（Ⅲ）問重點考查了直線與橢圓的方程進行聯立及整體代換的思想，還考查了兩點間的距離公式．