Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，△AOB和△COD為兩等腰直角三角形，A（-2，0），C（a，0）（a＞0）．設(shè)△AOB和△COD的外接圓圓心分別為M，N．
（1）若⊙M與直線(xiàn)CD相切，求直線(xiàn)CD的方程；
（2）若直線(xiàn)AB截⊙N所得弦長(zhǎng)為4，求⊙N的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（3）是否存在這樣的⊙N，使得⊙N上有且只有三個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)AB的距離為？若存在，求此時(shí)⊙N的標(biāo)準(zhǔn)方程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)△AOB為等腰直角三角形，A點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），可得圓心M的坐標(biāo)為（-1，1）及圓M方程，利用⊙M與直線(xiàn)CD相切，圓心M到直線(xiàn)CD的距離等于半徑，即可確定確定直線(xiàn)CD的方程；
（2）由已知得，直線(xiàn)AB的方程為x-y+2=0，圓心N的坐標(biāo)為（，），求出圓心N到直線(xiàn)AB的距離，利用直線(xiàn)AB截⊙N所得的弦長(zhǎng)為4，即可確定圓心坐標(biāo)，從而確定⊙N的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（3）存在．由（2）知，圓心N到直線(xiàn)AB的距離恒為，且AB⊥CD始終成立，當(dāng)且僅當(dāng)圓N的半徑=2．
解答：解：（1）∵△AOB為等腰直角三角形，A點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），
∴圓心M的坐標(biāo)為（-1，1）．
∴圓M方程為（x+1）²+（y-1）²=2，
又△COD為等腰直角三角形，C點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），
∴直線(xiàn)CD的方程為x+y-a=0
∵⊙M與直線(xiàn)CD相切，∴圓心M到直線(xiàn)CD的距離d==，解得a=2或a=-2（舍）．（4分）
（2）由已知得，直線(xiàn)AB的方程為x-y+2=0，圓心N的坐標(biāo)為（，）．
∴圓心N到直線(xiàn)AB的距離為=．
∵直線(xiàn)AB截⊙N所得的弦長(zhǎng)為4，∴2²+（）²=．
解得a=2或a=-2（舍），
∴⊙N的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-）²+（y-）²=6．（8分）
（3）存在．
由（2）知，圓心N到直線(xiàn)AB的距離恒為，且AB⊥CD始終成立，
∴當(dāng)且僅當(dāng)圓N的半徑=2，即a=4時(shí)，⊙N上有且只有三個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)AB的距離為．
此時(shí)⊙N的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-2）²+（y-2）²=8．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與圓的方程，考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，考查存在性問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)充分運(yùn)用圓的性質(zhì)，選擇正確的方法．