Question

當n≥2(n∈N*)時，Sn=(1-

1

4

)(1-

1

9

)(1-

1

16

)…(1-

1

n2

)，  Tn=

n+1

2n

（1）求S₂，S₃，T₂，T₃；（2）猜測S_n與T_n的關系且證明．

Answer 1

分析：（1）利用n=2，3，4，分別求出T₂，T₃，S₂，S₃，的值；
（2）通過（1）的數值，猜想S_n與T_n的關系；利用數學歸納法驗證n=2時猜想成立，然后假設n=k猜想成立，證明n=k+1時猜想也成立．

解答：解：（1）S2=1-

1

4

=

3

4

，S3=(1-

1

4

)(1-

1

9

)=

2

3

T2= 2+1 2×2 = 3 4 ，T3= 3+1 2×3 = 2 3

（2）猜想：S_n=T_n，用數學歸納法證明，
①n=2時，由（1）知成立；
②假設n=k（k≥2，k∈N）時等式處立．

即(1- 1 4 )(1- 1 9 )(1- 1 16 )…(1- 1 k2 )= k+1 2k ，則n=k+1時， Sk+1=(1- 1 4 )(1- 1 9 )(1- 1 16 )…(1- 1 k2 )[1- 1 (k+1)2 ]

= k+1 2k •[1- 1 (k+1)2 ]= (k+1)2-1 2k(k+1) = (k+1)+1 2(k+1)

所以n=k+1時，等式成立，
由①②可知對于n≥2，n∈N猜想成立．

點評：本題是考查數學歸納法的證明與應用，正確的猜想是數學歸納法的證明的前提，注意n=k+1證明時用上假設．