Question

已知雙曲線C經過點且漸近線方程為y=±x，直線l的方程為y=kx+m．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若m=-1，且直線l與C有且僅有一個公共點，求k的值；
（3）若，求直線l與C的兩個交點A、B的中點M的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由漸近線方程為y=±x，設C的方程為：x²-y²=λ（λ≠0），由雙曲線C經過點，得9-8=λ，由此能求出雙曲線C的方程．
（2）m=-1時，l：y=kx-1，由，得（k²-1）x²-2kx+2=0，由此能求出k的值．
（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁≠x₂），把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入x²-y²=1，得，故（）-（）=0，由此能求出M的軌跡方程．
解答：解：（1）∵雙曲線C經過點且漸近線方程為y=±x，
∴設C的方程為：x²-y²=λ（λ≠0），
把點代入，得9-8=λ，
∴λ=1．
故雙曲線C的方程：x²-y²=1．
（2）m=-1時，l：y=kx-1，
由，得（k²-1）x²-2kx+2=0，
∵直線l與C有且僅有一個公共點，
∴k²-1≠0，且△=8-4k²=0，或k²-1=0，
解得∴k=，或k=±1．
（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（x₁≠x₂），
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入x²-y²=1，
得，
∴（）-（）=0，
即（x₁+x₂）（x₁-x₂）-（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0
設M（x，y），
∵A、B的中點是M，
∴x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵|k|＞1，
∴x，
故M的軌跡方程：．
點評：本題考查直線和雙曲線的位置關系的綜合應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．