Question

（2013•溫州一模）方程（x-1）•sinπx=1在（-1，3）上有四個不同的根x₁，x₂，x₃，x₄，則x₁+x₂+x₃+x₄

4

．

Answer 1

分析：方程（x-1）•sinπx=1即sinπx=

1

x-1

．根據函數f（x）=sinπx和g（x）=

1

x-1

的解析式，可以得到函數的圖象關于點（1，0）對稱，因此sinπx=

1

x-1

．的四個根分別為x₁、x₂、x₃、x₄兩兩關于點（1，0）對稱，因此x₁+x₂+x₃+x₄=4．

解答：解：方程（x-1）•sinπx=1即sinπx=

1

x-1

．
設函數f（x）=sinπx和g（x）=

1

x-1

．其圖象如圖所示．
則這兩個函數的圖象關于點（1，0）對稱，
∵方程（x-1）•sinπx=1在（-1，3）上有四個不同的根x₁，x₂，x₃，x₄，
∴x₁+x₂+x₃+x₄=4，
故答案為：4．

點評：本題考查根的存在性及根的個數判斷，根據函數的解析式求得函數的對稱性是解題的關鍵，屬中檔題．