Question

通過研究函數f（x）=2x⁴-10x²+2x-1在實數范圍內的零點個數，進一步研究可得g（x）=2xⁿ+10x²-2x-1（n≥3，n∈N）在實數范圍內的零點個數為

 

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Answer 1

分析：對函數f（x）=2x⁴-10x²+2x-1進行求導，求得函數的極值，單調性，判斷零點個數，對于函數g（x）=2xⁿ+10x²-2x-1（n≥3，n∈N）用同樣的方法可得，注意計算時整體代換．

解答：解：∵函數f（x）=2x⁴-10x²+2x-1，
∴f′（x）=8x³-20x+2=2（4x³-10x+1）
在f′（x）=0時，
f（x）=2x⁴-10x²+2x-1，
=2x⁴-5x²+

1

2

x-5x²+

3

2

x-1，
=

1

2

（4x³-10x+1）-5x²+

3

2

x-1=-5x²+

3

2

x-1，
由于判別式△＜0，所以，f（x）的所有極值均是負數．
又因為當x趨向于負無窮和正無窮時均為無窮大，
所以，零點有兩個．
對任意g（x）=2xⁿ+10x²-2x-1（n≥3，n∈N）
也有，g'（x）=0時有，
g（x）=（

20

n

-10）x²+（2-

2

n

）x-1
可知n＞3時，其判別式△＜0
所以，當n為偶數時，有兩個零點
n為奇數時，有3個零點，
故答案為

2，n為偶數時 3，n為奇數時

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點評：此題是個中檔題．考查函數零點判定定理和利用導數研究函數的單調性和極值等問題，同時考查學生靈活應用知識分析解決問題的能力和計算能力．