Question

已知函數f（x）=ln（x-1）+

1

2

x2-ax，a＞0．
（I）若f（x）存在單調遞減區間，求a的取值范圍；
（Ⅱ）記f（x）在[2，+∞）的最小值為f（t），求t的值．

Answer 1

分析：（I）由函數的解析式，易求出函數的定義域和導函數的解析式，根據定義域和導函數的解析式，我們對a進行分類討論，易得到f（x）存在單調遞減區間時，a的取值范圍；
（Ⅱ）利用導函數我們可以探討函數的單調性，從而得到函數在[2，+∞）的最小值為f（t），繼而得到t的取值．

解答：解：（I）f（x）的定義域為（1，+∞），
f'（x）=

1

x-1

+x-a=

1

x-1

+（x-1）+1-a≥2+1-a=3-a
當且僅當x=2時f′（x）取最小值3-a．
當a＞3時，3-a＜0，
f（x）存在單調遞減區間；
當a≤3時，3-a≥0，不存在使得f′（x）＜0的區間
綜上，a的取值范圍是（3，+∞）；
（II）f'（x）=

x2-(a+1)x+a+1

x-1

，對于分子，
△=（a+1）²=4（a+1）=（a+1）（a-3），
由（I）可知，當0＜a≤3時，f（x）在（1，+∞）單調遞增；
當a＞3時，△＞0，由x²-（a+1）x+a+1=0，
得x₂=

a+1- (a+1)(a-3)

2

，x2=

a+1+ (a+1)(a-3)

2

由x₁-2=

a-3- (a+1)(a-3)

2

＜0x₂-2=

a-3+ (a+1)(a-3)

2

＞0
知x₁＜2＜x₂當x∈（2，x₂）時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減
當x∈（x₂，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增．
綜上，當0＜a≤3時，t=2；當a＞3時，t=

a+1+ a2-2a-3

2

．

點評：本題考查了函數的單調性及單調區間和函數的最值，在探討函數的最值時我們常以導數作為工具，先研究函數的單調性，然后在求其最值．本題是個中檔題．