Question

如圖，命題“a是平面π內的一條直線，b是π外的一條直線（b不垂直于π），c是直線b在π上的投影，若a⊥b，則a⊥c”．
（1）寫出上述命題的逆否命題并判斷其真假；
（2）寫出上述命題的逆命題，判斷其真假并證明．

Answer 1

分析：根據四周命題之間的關系寫出命題的逆否命題和逆命題，然后判斷真假．

解答：解：（1）命題的逆否命題為：命題“a是平面π內的一條直線，b是π外的一條直線（b不垂直于π），c是直線b在π上的投影，若a不垂直c，則a不垂直b”．
∵c是直線b在π上的投影，
∴若a⊥b，則a垂直b，c所在的平面，
∴a⊥c，
∴原命題正確，∴逆否命題也正確．
（2）命題的逆否命題為：命題“a是平面π內的一條直線，b是π外的一條直線（b不垂直于π），c是直線b在π上的投影，
若a⊥c，則a⊥b”．
∵c是直線b在π上的投影，∴過直線b上任意一點A做AB⊥c，則AB⊥平面π
∴AB⊥a，
∴若a⊥c，則a垂直b，c所在的平面，
∴a⊥b，
∴逆命題正確．

點評：本題主要考查四種命題之間的關系，以及四種命題之間的真假判斷．