Question

在△ABC中，B=C，2b=

3

a．求
（1）cosA的值．
（2）求cos（2A+

π

4

）的值．

Answer 1

分析：（1）根據題意，可得b=c=

3

2

a，令a=2得b=c=

3

，再由余弦定理加以計算，即可得到cosA的值；
（2）由同角三角函數的關系，算出sinA=

2 2

3

，再用二倍角的三角公式算出sin2A和cos2A的值，最后利用兩角和的余弦公式，即可算出cos（2A+

π

4

）的值．

解答：解：（1）由B=C，2b=

3

a，得b=c=

3

2

a…（3分）
令a=2，得b=c=

3

，
由余弦定理，得cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

3+3-4

2× 3 × 3

=

1

3

…（6分）
（2）∵cosA=

1

3

＞0，可得A為銳角
∴sinA=

1-cos2A

=

2 2

3

…（8分）
因此sin2A=2sinAcosA=

4 2

9

cos2A=cos²A-sin²A=

1

9

-

8

9

=-

7

9

…（11分）
∴cos（2A+

π

4

）=cos2Acos

π

4

-sin2Asin

π

4

=

-8-7 2

18

…（14分）

點評：本題給出三角形的邊角關系，求A的余弦并依此求cos（2A+

π

4

）的值．著重考查了利用正余弦定理解三角形、同角三角函數基本關系和三角函數的二倍角公式等知識，屬于中檔題．