Question

已知A是△BCD所在平面外的點，∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°，AB=3，AC=AD=2.
（1）求證：AB⊥CD；  （2）求AB與平面BCD所成角的余弦值.

Answer 1

（1）∵∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°， AC=AD=2，AB=3， ∴△ABC≌△ABD，BC=BD.取CD的中點M，連AM、BM，則CD⊥AM，CD⊥BM. ∴CD⊥平面ABM，于是AB⊥BD.
（2）過A作于O，∵CD⊥平面ABM，∴CD⊥AO，∴AO⊥面BCD，
∴BM是AB在面BCD內的射影，這樣∠ABM是AB與平面BCD所成的角.
在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，. 
在△ACD中， AC=AD=2，∠CAD=60°，∴△ACD是正三角形，AM=.
在Rt△BCM中，BC=，CM=1，
.

略