Question

設(shè)f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，且滿足下列關(guān)系f（10+x）=f（10-x），f（20-x）=-f（20+x），則f（x）是（ ）
A．偶函數(shù)，又是周期函數(shù)
B．偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)
C．奇函數(shù)，又是周期函數(shù)
D．奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)

Answer 1

【答案】分析：將題中兩個(gè)等式相結(jié)合，運(yùn)用變量代換的方法可證出f（40+x）=f（x），從而得出f（x）是周期T=40的周期函數(shù)，再根據(jù)f（-x）=f（40-x）結(jié)合f（20-x）=-f（20+x），可證出f（-x）=f（x），從而得到本題的答案．
解答：解：∵f（20-x）=f[10+（10-x）]=f[10-（10-x）]=f（x）=-f（20+x）．
∴f（20+x）=-f（40+x），結(jié)合f（20+x）=-f（x）得到f（40+x）=f（x）
∴f（x）是以T=40為周期的周期函數(shù)；
又∵f（-x）=f（40-x）=f（20+（20-x）=-f（20-（20-x））=-f（x）．
∴f（x）是奇函數(shù)．
故選：C
點(diǎn)評(píng)：本題給出滿足兩個(gè)等式的抽象函數(shù)，求函數(shù)的周期性和奇偶性，著重考查了函數(shù)的定義和抽象函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．