Question

（09年江蘇百校樣本分析）(16分)已知函數(shù).

   (Ⅰ)當(dāng)時，判斷函數(shù)的單調(diào)性并寫出其單調(diào)區(qū)間；

   (Ⅱ)若函數(shù)的圖象與直線至少有一個交點，求實數(shù)的取值范圍；

  （Ⅲ）證明對任意的，都有 成立.

Answer 1

解析：(1)當(dāng)時，，其定義域為，

 ，

∴函數(shù)為增函數(shù)，單調(diào)增區(qū)間為，         ………………………2分

   (2) 設(shè)，由題意得方程在區(qū)間上至少有一解

       ，

         令 得,    　　……………………… 4分

       ① 當(dāng)時，由得，  由得或

         ∴的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為，

         ∴，∴方程=0無解，　 

       ② 當(dāng)時，，同上可得方程=0無解　  ……………… 7分

       ③ 當(dāng)時，可得的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為，

         ∴極大值為 ，∴極小值，

又，

∴方程=0恰好有一解　　　　    …………………… 9分

④ 當(dāng)時，≥，∴函數(shù)為增函數(shù)，由上③得方程=0也恰好有一解

⑤ 當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為，同上可得方程=0在上至少有一解                

總上得所求的取值范圍為        …………………………………… 11分

   (3) 法一：由(2)可知得：當(dāng)，函數(shù)在上單調(diào)增，

∴ ，即 ，…………… 12分

令，，∴,           ……………… 13分

∴ …

,

∴

即　

∴  所證結(jié)論成立.                …………………… 16分

  法二： 令 ＝ ，則

  令，，

         記      ………… 12分

           則

        單調(diào)增，                     

又

         ，時，

 即＞0

  增                      ………… 14分

又

        

 ∴  所證結(jié)論成立.                …………………… 16分