Question

（本小題滿分14分）已知橢圓過點，且離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）為橢圓的左右頂點，直線與軸交于點，點是橢圓上異于的動點，直線分別交直線于兩點.

證明：當點在橢圓上運動時，恒為定值.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2） ，而，即，代入上式，∴，  所以為定值.

【解析】

試題分析：（1）由題意可知，，  ………1分

而，  ……………2分

且.   ……………3分

解得，    ……………4分

所以，橢圓的方程為.         ………5分

（2）.設，，     ……………6分

直線的方程為，令，則，

即；    ……………8分

直線的方程為，令，則，

即；   ……………10分

 ……………12分

而，即，代入上式，

∴，  所以為定值.   ………14分

考點：橢圓的簡單性質；直線與橢圓的綜合應用；直線方程的點斜式；直線方程的斜率公式。

點評：直線與圓錐曲線聯系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現，主要涉及位置關系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題定值或定點問題等．突出考查了數形結合、分類討論、函數與方程、等價轉化等數學思想方法．