Question

定義向量⊕運算：

a

⊕

b

=

c

，若

a

=（a₁，a₂），

b

=（b₁，b₂），則向量

c

=（a₁b₁，a₂b₂）．已知

m

=（

1

2

，2），

n

=（

π

6

，0），且點P（x，y）在函數y=cos2x的圖象上運動，點Q在函數y=f（x）的圖象上運動，且點P和點Q滿足：

OQ

=

m

⊕

OP

+

n

（其中O為坐標原點），則函數y=f（x）的最大值A及最小正周期T分別為（　　）

• A．

  1

  2

  ，

  π

  2

• B．2，

  π

  2

• C．

  1

  2

  ，π
• D．2，π

Answer 1

分析：可先把動點Q的坐標設出，然后根據給出的新定義把向量

m

、

n

、

OP

的坐標代入，整理后得到關于Q點的橫縱坐標的參數方程，消參后即可得到函數y=f（x）的解析式，則函數的最大值和周期可求．

解答：解：設Q（x₁，y₁），則

OQ

=(x1，y1)，

m

=(

1

2

，2)，

OP

=(x，y)，

n

=(

π

6

，0)，
因為點P（x，y）在函數y=cos2x的圖象上運動，所以P（x，cos2x），
所以由

OQ

=

m

⊕

OP

+

n

得：(x1，y1)=(

1

2

x，2cos2x)+(

π

6

，0)=(

1

2

x+

π

6

，2cos2x)，
所以

x1= 1 2 x+ π 6 y1=2cos2x

，解得：y1=2cos(4x1-

π

3

)，
即f（x）=2cos（4x-

π

3

）．
所以函數f（x）的最大值A=2，周期T=

2π

4

=

π

2

．
故選B．

點評：本題以向量為載體，考查了函數的周期和值域，考查了兩向量相等的條件，訓練了消參方法，解答此題的關鍵是能夠正確解出函數f（x）的解析式，屬新定義問題．