Question

已知函數f（x）=-x²+ax+b²-b+1，（a，b∈R）對任意實數x都有f（1-x）=f（1+x）成立，若當x∈[-1，1]時，f（x）＞0恒成立，則b的取值范圍是

1. A.
   -1＜b＜0
2. B.
   b＞2
3. C.
   b＞2或b＜-1
4. D.
   b＜-1

Answer 1

C
分析：先根據條件“對任意實數x都有f（1-x）=f（1+x）成立”得到對稱軸，求出a，再研究函數f（x）在[-1，1]上的單調性，求出函數的最小值，使最小值大于零即可．
解答：∵對任意實數x都有f（1-x）=f（1+x）成立，
∴函數f（x）的對稱軸為x=1=，解得a=2，
∵函數f（x）的對稱軸為x=1，開口向下，
∴函數f（x）在[-1，1]上是單調遞增函數，
而f（x）＞0恒成立，f（x）_min=f（-1）=b²-b-2＞0，
解得b＜-1或b＞2，
故選C
點評：本題主要考查了函數恒成立問題，二次函數在給定區間上恒成立問題必須從開口方向，對稱軸，判別式及端點的函數值符號4個角度進行考慮．