Question

設P是橢圓上的一點，F₁、F₂是焦點，若∠F₁PF₂=30°，則△PF₁F₂的面積為（ ）
A．
B．
C．
D．16

Answer 1

【答案】分析：根據橢圓方程算出橢圓的焦點坐標為F₁（-3，0）、F₂（3，0）．由橢圓的定義|PF₁|+|PF₂|=10，△PF₁F₂中用余弦定理得到|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos30°=36，兩式聯解可得|PF₁|•|PF₂|=64（2-），最后根據三角形面積公式即可算出△PF₁F₂的面積．
解答：解：∵橢圓方程為，
∴a²=25，b²=16，得a=5且b=4，c==3，
因此，橢圓的焦點坐標為F₁（-3，0）、F₂（3，0）．
根據橢圓的定義，得|PF₁|+|PF₂|=2a=10
∵△PF₁F₂中，∠F₁PF₂=30°，
∴|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|•|PF₂|cos30°=4c²=36，
可得（|PF₁|+|PF₂|）²=36+（2+）|PF₁|•|PF₂|=100
因此，|PF₁|•|PF₂|==64（2-），
可得△PF₁F₂的面積為S=•|PF₁|•|PF₂|sin30°=
故選：B
點評：本題給出橢圓上一點對兩個焦點所張的角為30度，求焦點三角形的面積．著重考查了橢圓的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．