Question

已知：f(x)=cosx-cos(x+

π

3

)．
（1）求函數(shù)f（x）在R上的最大值和最小值；
（2）在三角形ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且f（A）=1，三角形ABC的面積為6

3

，b=4，求邊a的值．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)解析式利用和差化積公式變形，整理為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可確定出最大值以及最小值；
（2）根據(jù)f（A）=1，求出A的度數(shù)，確定出sinA與cosA的值，利用三角形的面積公式，根據(jù)已知的面積求出c的值，再利用余弦定理即可求出a的值．

解答：解：（1）f（x）=-2sin（x+

π

6

）sin（-

π

6

）=sin（x+

π

6

），
∴當x+

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，即x=2kπ+

π

3

，k∈Z時，f（x）_max=1，當x+

π

6

=2kπ-

π

2

，k∈Z，即x=2kπ-

2π

3

，k∈Z時，f（x）_min=-1；
（2）∵f（A）=sin（A+

π

6

）=1，A為三角形的內(nèi)角，
∴A=

π

3

，
又S_△ABC=

1

2

bcsinA=6

3

，即

1

2

×4c×

3

2

=6

3

，
∴c=6，
根據(jù)余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=28，
解得：a=2

7

．

點評：此題考查了余弦定理，三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，積化和差公式，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．