Question

【題目】如圖，某隧道設(shè)計(jì)為雙向四車道，車道總寬22米，要求通行車輛限高4.5米，隧道全長(zhǎng)2.5千米，隧道的拱線近似地看成半個(gè)橢圓形狀．

（1）若最大拱高h為6米，則隧道設(shè)計(jì)的拱寬l是多少？

（2）若最大拱高h不小于6米，則應(yīng)如何設(shè)計(jì)拱高h和拱寬l，才能使半個(gè)橢圓形隧道的土方工程量最最小？（半個(gè)橢圓的面積公式為，柱體體積為：底面積乘以高．本題結(jié)果精確到0.1米）

Answer 1

【答案】（1）33.3米；（2）故當(dāng)拱高約為6.4米、拱寬約為31.1米時(shí)，土方工程量最小．

【解析】

試題（1）根據(jù)題意，建立坐標(biāo)系，可得P的坐標(biāo)并設(shè)出橢圓的方程，將b=h=6與點(diǎn)P坐標(biāo)代入橢圓方程，得，依題意，可得l=2a，計(jì)算可得答案；

（2）根據(jù)題意，設(shè)橢圓方程為，將（11，4.5）代入方程可得，結(jié)合基本不等式可得，分析可得當(dāng)ab≥99且l=2a，h=b時(shí)，，進(jìn)而分析可得答案．

解：（1）如圖建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)P（11，4.5），

橢圓方程為．

將b=h=6與點(diǎn)P坐標(biāo)代入橢圓方程，

得，

此時(shí)此時(shí)

因此隧道的拱寬約為33.3米；

（2）由橢圓方程，

根據(jù)題意，將（11，4.5）代入方程可得．

因?yàn)?/span>

即ab≥99且l=2a，h=b，

所以

當(dāng)S取最小值時(shí)，

有，

得，

此時(shí)，h=b≈6.4

故當(dāng)拱高約為6.4米、拱寬約為31.1米時(shí)，土方工程量最小．