Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)都為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S_n，已知對任意n∈N^*，S_n是

1

2

a_n²和a_n的等差中項(xiàng)
（Ⅰ）證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明：

1

2

≤

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜1；
（Ⅲ）設(shè)集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使對滿足n＞m的一切正整數(shù)n，不等式2Sn-4200＞

a 2 n

2

恒成立，試問：這樣的正整數(shù)m共有多少個．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知，4Sn=

a

2 n

+2an，且a_n＞0，再寫一式，兩式相減，可得數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，從而可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）利用裂項(xiàng)法求和，即可證得結(jié)論；
（Ⅲ）先確定集合M={2000，2002，…，2008，2010，2012，…，2998}．因?yàn)閙∈M，可得m組成首項(xiàng)為2100，公差為2的等差數(shù)列，由此可得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）證明：由已知，4Sn=

a

2 n

+2an，且a_n＞0． …（1分）
當(dāng)n=1時，4a1=

a

2 1

+2a1，解得a₁=2．    …（2分）
當(dāng)n≥2時，有4Sn-1=

a

2 n-1

+2an-1．
于是4Sn-4Sn-1=

a

2 n

-

a

2 n-1

+2an-2an-1，即4an=

a

2 n

-

a

2 n-1

+2an-2an-1．
于是

a

2 n

-

a

2 n-1

=2an+2an-1，即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）=2（a_n+a_n-1）．
因?yàn)閍_n+a_n-1＞0，所以a_n-a_n-1=2（n≥2）．
故數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，且a_n=2n．…（4分）
（Ⅱ）證明：因?yàn)閍_n=2n，則

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，…（5分）
所以

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

＜1．…（7分）
因?yàn)?span id="iim0owu" class="MathJye">1-

1

n+1

隨著n的增大而增大，所以當(dāng)n=1時取最小值

1

2

．
故原不等式成立．                                           …（10分）
（Ⅲ）解：由2Sn-4200＞

a 2 n

2

，得2n（n+1）-4200＞2n²，所以n＞2100．  …（12分）
由題設(shè)，M={2000，2002，…，2008，2010，2012，…，2998}．
因?yàn)閙∈M，所以m=2100，2102，…，2998均滿足條件，且這些數(shù)組成首項(xiàng)為2100，公差為2的等差數(shù)列．
設(shè)這個等差數(shù)列共有k項(xiàng)，則2100+2（k-1）=2998，解得k=450．
故集合M中滿足條件的正整數(shù)m共有450個．                  …（16分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．