Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為、，圓經過橢圓的兩個焦點和兩個頂點，點在橢圓上，且，.

（Ⅰ）求橢圓的方程和點的坐標；

（Ⅱ）過點的直線與圓相交于、兩點，過點與垂直的直線與橢圓相交于另一點，求的面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)橢圓的方程為， 點P的坐標為.(Ⅱ).

【解析】分析：（I）由題意計算可得， ， 則橢圓的方程為， 結合幾何性質可得點P的坐標為.

（II）由題意可知直線l2的斜率存在，設l2的方程為，與橢圓方程聯立可得， 由弦長公式可得； 結合幾何關系和勾股定理可得， 則面積函數， 換元求解函數的值域可得△ABC的面積的取值范圍是．

詳解：（I）設，，

可知圓經過橢圓焦點和上下頂點，得，

由題意知，得，

由，得，

所以橢圓的方程為，

點P的坐標為.

（II）由過點P的直線l2與橢圓相交于兩點，知直線l2的斜率存在，

設l2的方程為，由題意可知，

聯立橢圓方程，得，

設，則，得，

所以；

由直線l1與l2垂直，可設l1的方程為，即

圓心到l1的距離，又圓的半徑，

所以，

，

由即，得，

，

設，則，，

當且僅當即時，取“＝”，

所以△ABC的面積的取值范圍是．