Question

（2009•孝感模擬）設A，B分別為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且x=4為它的右準線．
（1）求橢圓的方程；
（2）設點P為橢圓上不同于A，B的一個動點，直線PA，PB與橢圓右準線相交于M，N兩點，在x軸上是否存在點Q，使得

QM

•

QN

=0，若存在，求出點Q的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意，知a=2c，

a2

c

=4，求出a，b 即得出橢圓的方程
（2）設P（2cosθ，sinθ），M（4，m），N（4，n），設Q（t，0）利用向量坐標表示及數量積運算，由

QM

•

QN

=0，列出關于t的方程，判斷出解得情況，解得答案．

解答：解：（1）由題意，知a=2c，=4，解得a=2，c=1，∴b=，故橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1…（5分）
（2）設P（2cosθ，sinθ），M（4，m），N（4，n），則A（-2，0），B（2，0），
由A、P、M三點共線，得m=

3 3 sinθ

1+cosθ

…（7分）
由B、P、N三點共線，得n=

3 sinθ

cosθ-1

，…（9分）
設Q（t，0），則由

QM

•

QN

=0得
（t-4）（t-4）+（0-

3 3 sinθ

1+cosθ

）（0-

3 sinθ

cosθ-1

）=0，
整理得：（t-4）²-9=0      解得t=1或t=7
∴Q點的坐標是（7，0）或（1，0）．…（12分）

點評：本題考橢圓的方程求解，向量的運算，及探索性問題，用到了方程思想．