Question

某市出租車的起步價為6元，行駛路程不超過3km時，租車費為6元，若行駛路程超過3km，則按每超出1km（不足1km也按1km計程）收費3元計費．設出租車一天行駛的路程數ξ（按整km數計算，不足1km的自動計為1km）是一個隨機變量，則其收費也是一個隨機變量．已知一個司機在某個月每次出車都超過了3km，且一天的總路程數可能的取值是200、220、240、260、280、300（km），它們出現的概率依次是0.12、0.18、0.20、0.20、100a²+3a、4a．
（1）求這一個月中一天行駛路程ξ的分布列，并求ξ的數學期望和方差；
（2）求這一個月中一天所收租車費η的數學期望和方差．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據概率分布的性質：概率之和為1，列出關于a的等式，求出a值，從而得出ξ的分布列，再根據數學期望和方差公式計算ξ的數學期望和方差即可；
（2）根據題意有：η=3ξ-3（ξ＞3，ξ∈Z），利用變量之間的線性關系求出η的數學期望和方差．
解答：解：（1）由概率分布的性質有0.12+0.18+0.20+0.20+100a²+3a+4a=1．（1分）
∴100a²+7a=0.3，
∴1 000a²+70a-3=0，a=，或a=-（舍去），即a=0.03，（2分）
∴100a²+3a=0.18，4a=0.12，
∴ξ的分布列為

ξ	200	220	240	260	280	300
P	0.12	0.18	0.20	0.20	0.18	0.12

（8分）
∴Eξ=200×0.12+220×0.18+240×0.20+260×0.20+280×0.18+300×0.12=250（km）
Dξ=50²×0.12+30²×0.18+10²×0.20+10²×0.20+30²×0.18+50²×0.12=964；  （10分）
（2）由已知η=3ξ-3（ξ＞3，ξ∈Z），
∴Eη=E（3ξ-3）=3Eξ-3=3×250-3=747（元）
Dη=D（3ξ-3）=3²Dξ=8 676．（12分）
點評：本題考查古典概型及其概率計算公式，以及離散型隨機變量分布列、期望、方差的計算；一般計算量較大，注意準確計算即可．