Question

（2013•梅州一模）已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足

3

sinCcosC-cos2C=

1

2

．
（1）求角C
（2）若向量

m

=(1，sinA)與

n

=(2，sinB)共線，且c=3，求a、b的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數的倍角公式和兩角和的正弦公式即可得出；
（2）利用向量共線定理、正弦定理及余弦定理即可得出．

解答：解：（1）∵

3

sinCcosC-cos2C=

1

2

，
∴

3

2

sin2C-

cos2C+1

2

=

1

2

，化為

3

2

sin2C-

1

2

cos2C=1，
∴sin(2C-

π

6

)=1，
∵C∈（0，π），∴(2C-

π

6

)∈(-

π

6

，

11π

6

)，
∴2C-

π

6

=

π

2

，解得C=

π

3

．
（2）∵向量

m

=(1，sinA)與

n

=(2，sinB)共線，∴sinB-2sinA=0，
由正弦定理得

a

sinA

=

b

sinB

，∴b=2a．
由余弦定理得c²=a²+b²-2absinC，
∴32=a2+b2-2abcos

π

3

，化為a²+b²-ab=9．
聯立

b=2a a2+b2-ab=9

，解得

a= 3 b=2 3

．

點評：熟練掌握三角函數的倍角公式、兩角和的正弦公式、向量共線定理、正弦定理及余弦定理是解題的關鍵．