Question

10、有編號分別為1、2、3、4的四個盒子和四個小球，把小球全部放入盒子．問：
（1）共有多少種放法？
（2）恰有一個空盒，有多少種放法？
（3）恰有2個盒子內不放球，有多少種放法？

Answer 1

分析：（1）本題要求把小球全部放入盒子，1號小球可放入任意一個盒子內，有4種放法．余下的2、3、4號小球也各有4種放法，根據分步計數原理得到結果．
（2）恰有一個空盒，則這4個盒子中只有3個盒子內有小球，且小球數只能是1、1、2．先從4個小球中任選2個放在一起，與其他兩個球看成三個元素，在三個位置排列．
（3）恰有2個盒子內不放球，也就是把4個小球只放入2個盒子內，有兩類放法：一個盒子內放1個球，另一個盒子內放3個球；
2個盒子內各放2個小球．寫出組合數，根據分類加法得到結果．

解答：解：（1）本題要求把小球全部放入盒子，
∵1號小球可放入任意一個盒子內，有4種放法．
同理，2、3、4號小球也各有4種放法，
∴共有4⁴=256種放法．
（2）∵恰有一個空盒，則這4個盒子中只有3個盒子內有小球，
且小球數只能是1、1、2．
先從4個小球中任選2個放在一起，有C²₄種方法，
然后與其余2個小球看成三組，分別放入4個盒子中的3個盒子中，有A³₄種放法．
∴由分步計數原理知共有C²₄A³₄=144種不同的放法．
（3）恰有2個盒子內不放球，也就是把4個小球只放入2個盒子內，有兩類放法：
①一個盒子內放1個球，另一個盒子內放3個球．
先把小球分為兩組，一組1個，另一組3個，有C¹₄種分法，
再放到2個盒子內，有A²₄種放法，
共有C¹₄A²₄種方法；
②2個盒子內各放2個小球．先從4個盒子中選出2個盒子，有C²₄種選法，
然后把4個小球平均分成2組，每組2個，放入2個盒子內，也有C²₄種選法，
共有C²₄C²₄種方法．
∴由分類計數原理知共有C¹₄A²₄+C²₄C²₄=84種不同的放法．

點評：本題考查計數問題，考查排列組合的實際應用，排列問題要做到不重不漏，有些題目帶有一定的約束條件，解題時要先考慮有限制條件的元素．