Question

已知函數f(x)=x+

1

x

．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性，并證明你的結論；
（2）證明函數f（x）在區間（1，+∞）上是增函數．

Answer 1

分析：（1）用函數奇偶性的定義判斷、證明，注意具有奇偶性的函數定義域須關于原點對稱；
（2）利用增函數的定義證明．

解答：解：（1）函數f(x)=x+

1

x

為奇函數                
∵函數f(x)=x+

1

x

的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）且關于原點對稱．
且f(-x)=-x+

1

-x

=-(x+

1

x

)=-f(x)．
所以函數f(x)=x+

1

x

為奇函數．
（2）證明：設x₁，x₂是區間（1，+∞）上的任意兩個數，且x₁＜x₂．
f(x1)-f(x2)=x1+

1

x1

-(x2+

1

x2

)=x1-x2+

1

x1

-

1

x2

=(x1-x2)(1-

1

x1x2

)
=

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

．
∵1＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂-1＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0  即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函數f（x）在（1，+∞）上為增函數．

點評：本題考查函數的奇偶性、單調性，屬于基礎題，難度不大，準確理解它們的定義是解決該類問題的基礎．