Question

記函數f（x）的導數為f^（1）（x），f^（1）（x）的導數為f^（2）（x），…，f^（n-1）（x）的導數為f^（n）（x）（n∈N^*）．若f（x）可進行n次求導，則f（x）均可近似表示為：

f(x)≈f(0)+ f(1)(0) 1! x+ f(2)(0) 2! x2+ f(3)(0) 3! x3+…+ f(n)(0) n! xn

若取n=4，根據這個結論，則可近似估計自然對數的底數e≈

65

24

（用分數表示）（注：n!=n×（n-1）×…×2×1）

Answer 1

分析：令f（x）=e^x，由已知，將f（x）近似表示為f（0）+x+

x

2

+

x

6

+

x

24

，令x=1，則能得出關于e的表達式，整理計算即可．

解答：解：構造函數f（x）=e^x，根據導數運算，可知f^（n）（x）=e^x，f^（n）（0）=1
所以若取n=4，e^x≈f（0）+x+

x

2

+

x

6

+

x

24

，
令x=1，則e≈1+1+

1

2

+

1

6

+

1

24

=

65

24

故答案為：

65

24

點評：本題考查函數求導運算，閱讀、轉化、構造、計算能力．