Question

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f（x）=2^x+arctanx，數(shù)列{a_n}滿足a1=

1

4023

，f(an+1)=f(

an

1-2an

)(n∈N*)，則f（a₂₀₁₂）=

2+

π

4

．

Answer 1

分析：由f（x）=2^x+arctanx，知f'（x）=2^x•ln2+

1

1+x2

，由f（x）嚴(yán)格單調(diào)遞增，得a_n+1=

an

1-2an

，所以

1

an

=

1

a1

-2(n-1)，由此能夠求出f（a₂₀₁₂）．

解答：解：∵f（x）=2^x+arctanx，
∴f'（x）=2^x•ln2+

1

1+x2

，
顯然對(duì)于任意x∈R它都是嚴(yán)格大于0的，
所以f（x）嚴(yán)格單調(diào)遞增，
∵a1=

1

4023

，f(an+1)=f(

an

1-2an

)(n∈N*)，
∴a_n+1=

an

1-2an

，
對(duì)任意n∈N^*，變形得a_n+1-2a_n•a_n+1-a_n=0，

1

an

-

1

an+1

-2=0，
∴

1

an+1

=

1

an

-2，
所以

1

an

=

1

a1

-2(n-1)，
將a₁=

1

4023

和n=2012代入得a₂₀₁₂=1，
所以f（a₂₀₁₂）=f（1）=2+

π

4

．
故答案為：2+

π

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．