Question

已知P是雙曲線的右支上一點，A₁，A₂分別為雙曲線的左、右頂點，F₁，F₂分別為雙曲線的左、右焦點，雙曲線的離心率為e，有下列命題：
①雙曲線的一條準線被它的兩條漸近線所截得的線段長度為；
②若|PF₁|=e|PF₂|，則e的最大值為；
③△PF₁F₂的內切圓的圓心橫坐標為a；
其中正確命題的序號是    ．

Answer 1

【答案】分析：分別求得雙曲線的漸近線和準線方程，進而求得準線被它的兩條漸近線所截得的線段長度判斷①正確．
根據雙曲線的定義可知|PF₁|-|PF₂|=2a=（e-1）|PF₂|≥（e-1）（c-a），進而求得e的范圍，判斷②不正確．
設△PF₁F₂的內切圓的圓心為O，內切圓切PF₁于A點，PF₂于B點，F1F₂于C點，根據雙曲線的定義可知|PF₁|-|PF₂|=2a．進而根據|PF₁|=|PA|+|AF₁|，|PF₂|=|PB|+|BF₂|，求得C的橫坐標，判斷③正確．
解答：解：雙曲線的漸進線為y=±x，準線方程為x=，代入漸進線方程得y=±=
∴準線被它的兩條漸近線所截得的線段長度為2×=故①正確．
∵|PF₁|-|PF₂|=2a=（e-1）|PF₂|≥（e-1）（c-a），整理得（e-1）•（e-1）≤2，解得，e≤1+所以e的最大值是1+②不正確．
設△PF₁F₂的內切圓的圓心為O，內切圓切PF₁于A點，PF₂于B點，F1F₂于C點，
因為是內切圓，所以有OA⊥PF₁，OB⊥PF₂，OC⊥F₁F₂，且PA=PB，AF₁=F₁C，BF₂=CF₂．因為OC⊥F₁F₂，即x軸，只要求出C點的橫坐標，就等于求出了O點的橫坐標．
由雙曲線的性質可知
∵|PF₁|-|PF₂|=2a
∵|PF₁|=|PA|+|AF₁|，|PF₂|=|PB|+|BF₂|，
∴|PF₁|-|PF₂|=（|PA|+|AF₁|）-（|PB|+|BF₂|）=|CF₁|-|CF₂|=2a，
又∵|CF₁|+|CF₂|=2c，聯立可得CF₂=c-a，∵F2（c，0），
∴C（a，0）．
∴O點橫坐標就為a，故③正確．
故答案為①③
點評：本題主要考查了雙曲線的應用．解題的前提是對雙曲線的基本知識能綜合掌握．