Question

如圖在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，垂足為點A，PA=AB=2，點M，N分別是PD，PB的中點．
（I）求證：PB∥平面ACM；
（II）求證：MN⊥平面PAC；
（III）求四面體A-MBC的體積．

Answer 1

證明：（I）連接AC，BD，AM，MC，MO，MN，且AC∩BD=O
∵點O，M分別是PD，BD的中點
∴MO∥PB，
∵PB?平面ACM，MO?平面ACM
∴PB∥平面ACM．…（4分）
（II）∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD
∴PA⊥BD
∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD
又∵PA∩AC=A
∴BD⊥平面PAC…（7分）
在△PBD中，點M，N分別是PD，PB的中點，∴MN∥BD
∴MN⊥平面PAC．…（9分）
（III）∵VA-MBC=VM-ABC=

1

3

•S△ABC•h，h=

1

2

PA…（12分）
∴VA-MBC=

1

3

•

1

2

•AB•AD•

1

2

•PA=

2

3

．…（14分）