Question

已知f（x）是定義在R上的增函數，函數y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱．若對任意的x，y∈R，不等式f（x²-6x+21）+f（y²-8y）＜0恒成立，則當x＞3時，x²+y²的取值范圍是

1. A.
   （3，7）
2. B.
   （9，25）
3. C.
   （13，49）
4. D.
   （9，49）

Answer 1

C
分析：由函數y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱，結合圖象平移的知識可知函數y=f（x）的圖象關于點（0，0）對稱，從而可知函數y=f（x）為奇函數，由f（x²-6x+21）+f（y²-8y）＜0恒成立，可把問題轉化為（x-3）²+（y-4）²＜4，借助于的有關知識可求
解答：∵函數y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱
∴函數y=f（x）的圖象關于點（0，0）對稱，即函數y=f（x）為奇函數，則f（-x）=-f（x）
又∵f（x）是定義在R上的增函數且f（x²-6x+21）+f（y²-8y）＜0恒成立
∴（x²-6x+21）＜-f（y²-8y）=f（8y-y² ）恒成立
∴x²-6x+21＜8y-y²
∴（x-3）²+（y-4）²＜4恒成立
設M （x，y），則當x＞3時，M表示以（3，4）為圓心2為半徑的右半圓內的任意一點，
則x²+y²表示在半圓內任取一點與原點的距離的平方
結合圓的知識可知13＜x²+y²＜49
故選 C
點評：本題考查了函數圖象的平移、函數的奇偶性、單調性及圓的有關知識，解決問題的關鍵是把“數”的問題轉化為“形”的問題，借助于圖形的幾何意義減少了運算量，體現“數形結合：及”轉化”的思想在解題中的應用．