Question

已知在銳角△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且tanB=，
（I）求∠B；
（II）求函數f（x）=sinx+2sinBcosx，（x）的最小值及單調遞減區間．

Answer 1

【答案】分析：（I）在銳角△ABC中，由tanB===，求得sinB的值，即可求得B的值．
（II）利用兩角和差的正弦公式化簡 函數f（x）的解析式2sin（x+），再根據正弦函數的定義域和值域求得它的最小值，令 2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范圍，
即可求得函數的減區間．
解答：解：（I）在銳角△ABC中，∵tanB===，∴sinB=，B=．
（II）∵函數f（x）=sinx+2sinBcosx=sinx+cosB=2sin（x+），x，∴x+∈[ ]，
故當x+=時，2sin（x+）取得最小值為 2×=1．
令 2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈z，求得 2kπ+≤x≤2kπ+，k∈z．
故函數的減區間為[2kπ+，2kπ+]，k∈z．
點評：本題主要考查余弦定理的應用，根據三角函數的值求角，兩角和差的正弦公式，正弦函數的定義域和值域及其單調性，屬于中檔題．