Question

已知點F₁（0，-1）和拋物線C₁：x²=2py的焦點F關于x軸對稱，點M是以點F為圓心，4為半徑的⊙F上任意一點，線段MF₁的垂直平分線與線段MF交于點P，設點P的軌跡為曲線C₂，
（1）求拋物線C₁和曲線C₂的方程；
（2）是否存在直線l，使得直線l分別與拋物線C₁及曲線C₂均只有一個公共點，若存在，求出所有這樣的直線l的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）拋物線C₁：x²=2py的焦點F的坐標為F（0，1），則

p

2

=1，所以拋物線C₁的方程為x²=4y，由于|MF|=4，即|MP|+|PF|=4，而線段MF₁的垂直平分線與線段MF交于點P，則|MP|=|PF₁|因此，|PF₁|+|PF|=4，且4＞|FF₁|=2，由此能求出曲線C₂的方程．
（2）若直線l的斜率不存在，則直線x=

3

，x=-

3

與拋物線C₁及曲線C₂均只有一個公共點，若直線l斜率存在，設其方程為y=kx+m，若l與拋物線C₁及曲線C₂均只有一個公共點，由此能求出存在四條直線x=±

3

，y=±2x-4與拋物線C₁及曲線C₂均只有一個公共點．

解答：解：（1）依題意，拋物線C₁：x²=2py的焦點F的坐標為F（0，1），
則

p

2

=1，
所以拋物線C₁的方程為x²=4y，
由于|MF|=4，即|MP|+|PF|=4，
而線段MF₁的垂直平分線與線段MF交于點P，
則|MP|=|PF₁|，
因此，|PF₁|+|PF|=4，
且4＞|FF₁|=2，則點P的軌跡C₂為以F₁、F為焦點的橢圓，
設C₂的方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1  (a＞b＞0)，
則2a=4，且a²-b²=1，解得a²=4，b²=3，
所求曲線C₂的方程為

y2

4

+

x2

3

=1
（2）若直線l的斜率不存在，
則直線x=

3

，x=-

3

與拋物線C₁及曲線C₂均只有一個公共點，
若直線l斜率存在，設其方程為y=kx+m，
若l與拋物線C₁及曲線C₂均只有一個公共點，
則

y=kx+m x2=4y

及

y=kx+m y2 4 + x2 3 =1

均只有一組解，
由

y=kx+m x2=4y

消去y得 x²-4kx-4m=0，
則△=16k²+16m=0①
由

y=kx+m y2 4 + x2 3 =1

消去y得 （4+3k²）x²+6kmx+3m²-12=0，
則△=36k²m²-4（3m²-12）（3k²+4）=0，
即m²-3k²-4=0②
由①②得m=-4，k=±2，
即存在直線y=±2x-4與拋物線C₁及曲線C₂均只有一個公共點，
綜上：存在四條直線x=±

3

，y=±2x-4與拋物線C₁及曲線C₂均只有一個公共點．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，綜合性強，是高考的重點，易錯點是圓錐曲線知識體系不牢固．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線、橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．