Question

已知函數f（x）=2x³-ax²+6bx在x=-1處有極大值7．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）在x=1處的切線方程．

Answer 1

分析：（1）根據題意，可得f'（-1）=0且f（-1）=7．由此結合導數的運算法則，建立關于a、b的方程組，解出a=3且b=-2，即可得到所求f（x）的解析式；
（2）由導數的幾何意義，求出f'（x）在x=1處的函數值，得到曲線f（x）在x=1處的切線斜率，結合切點坐標（1，f（1）），利用直線方程的點斜式列式，化簡即可得到所求切線的方程．

解答：解：（1）求導數，得f′（x）=6x²-2ax+6b，
∵x=-1處函數有極大值7；
∴

f′(-1)=6+2a+6b=0 f(-1)=-2-a-6b=7

，解之得a=3且b=-2
由此可得，f（x）的解析式為f（x）=2x³-3x²-12x；
（2）由（1）得f'（x）=6x²-6x-12
∴曲線f（x）在x=1處的切線斜率k=f'（1）=-12
切點坐標為（1，f（1）），即（1，-13）
所求切線方程為y+13=-12（x-1），即y=-12x-1．

點評：本題給出三次多項式函數滿足的條件，求函數的解析式并求圖象的切線．著重考查了導數的運算法則、函數極值的意義和導數的幾何意義等知識，屬于中檔題．