Question

一個盒子中裝有5張卡片，上面分別記著數字1，1，2，2，2，每張卡片從外觀上看毫無差異，現從盒子中有放回的任意取2張卡片，記下上面數字分別為X和Y，兩次所得數字之和記為M，即M=X+Y
（1）求隨機變量M的分布列和數學期望
（2）若規定所得數字之和為3即可獲得獎品，先甲乙兩人各自玩了一次上面的游戲，試求兩人之中至少有一人獲得獎品的概率．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,相互獨立事件的概率乘法公式

專題：概率與統計

分析：（1）由題意：M的取值可以是2，3，4，分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量M的分布數列和數學期望．
（2）利用古典概型概率計算公式能求出從5張卡片中有放回地抽取2次，所得數字之和為3的概率；由對立事件概率計算公式能求出甲乙二人中至少一人能獲獎的概率．

解答： 解：（1）由題意：M的取值可以是2，3，4，
P(M=2)=

C 1 2 × C 1 2

5×5

=

4

25

，
P(M=3)=

C 1 2 × C 1 3 × A 2 2

5×5

=

12

25

，
P(M=3)=

C 1 3 × C 1 3

5×5

=

9

25

，
∴M的分布列為：

M	2	3	4
P	4 25	12 25	9 25

∴M的期望為：E(M)=2×

4

25

+3×

12

25

+4×

9

25

=

16

5

（2）設“從5張卡片中有放回地抽取2次，所得數字之和為3”為事件A，
則P(A)=

12

25

，
則“甲乙二人中至少一人能獲獎”相當于2次獨立重復試驗中事件A至少發生一次，
其概率為1-

C

0 2

(1-

12

25

)2=

456

625

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，考查概率的求法，解題時要認真審題，注意對立事件概率計算公式的合理運用．