Question

一艘輪船在航行中每小時的燃料費和它的速度的立方成正比．已知速度為每小時10公里時，燃料費是每小時5元，而其它和速度無關的費用是每小時80元．
（1）將1小時的燃料費P元表示為速度v（公里/小時）的函數；
（2）已知甲，乙兩地相距100公里，問該輪船以多大的速度行駛時，從甲地行駛到乙地所需的費用總和為最小？

Answer 1

分析：（1）先設出函數關系式，代入速度與每小時燃料費的關系值求出比例系數即可；
（2）根據題設要求設出行駛總費用與速度之間的函數關系式，再利用函數的導數去求函數的最小值即可．

解答：解：（1）1小時的燃料費P元與速度v（公里/小時）的函數關系可以表示為p=kv³．
又∵5=k•10³，∴k=0.005，∴p=0.005v³．（v＞0）（3分）
（2）設從甲地行駛到乙地所需的費用總和為y元，
則y=

100

v

(0.005v3+80)=0.5v2+

8000

v

．（v＞0）（7分）
∴y′=v-

8000

v2

，由y′=0，得v=20（公里/小時）．（10分）
又∵當v＜20時，y′＜0；當v＞20時，y′＞0．
∴當速度為20公里/小時時，航行所需的費用總和為最小，最小值為600元．（12分）

點評：本題是實際應用題，考查學生建立函數模型的能力，以及利用函數的導數研究給定區間上函數的最值問題，是高考的常考知識點．