Question

14．已知正項數列{a_n}的前n項和為S_n，當n≥2時，（a_n-S_n-1）²=S_nS_n-1，且a₁=1，設b_n=log₂$\frac{{a}_{n+1}}{6}$，則b_n等于（　　）

• A． 2n-3
• B． 2n-4
• C． n-3
• D． n-4

Answer 1

分析 先根據數列的遞推公式得到（S_n-2S_n-1）²=S_nS_n-1，即可得到$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n-1}}$+$\frac{4{S}_{n-1}}{{S}_{n}}$=5，解得S_n=4S_n-1，即可求出數列a_n的通項公式，再根據對數的運算性質即可求出答案．

解答 解：∵a_n=S_n-S_n-1，$（{a}_{n}-{S}_{n-1}）^{2}={S}_{n}{S}_{n-1}$，
∴（S_n-2S_n-1）²=S_nS_n-1，
∴S_n²+4S_n-1²=5S_nS_n-1，
∴$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n-1}}$+$\frac{4{S}_{n-1}}{{S}_{n}}$=5，
令$\frac{{S}_{n}}{{S}_{n-1}}$=t，
∴t+$\frac{4}{t}$=5，
解得t=1或t=4，
∴S_n=S_n-1，或S_n=4S_n-1，
∵正項數列{a_n}的前n項和為S_n，
∴S_n≠S_n-1，
∴S_n=4S_n-1，
∵S₁=a₁=1，
∴{S_n}是以1為首項，以4為公比的等比數列，
∴S_n=4^n-1，
當n=1時，S₁=a₁=1，
當n≥2時，a_n+1=S_n+1-S_n=4ⁿ-4^n-1=3×4^n-1，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{6}$=$\frac{3×{4}^{n-1}}{6}$=2^2n-3，
∴b_n=log₂$\frac{{a}_{n+1}}{6}$=2n-3，
故選：A．

點評 本題考查了數列的遞推公式求出數列的通項公式以及等比數列的性質，考查了學生的運算能力，轉化能力，屬于中檔題．