Question

（2012•江西模擬）已知函數f（x）=

1+lnx

x

（Ⅰ）若k＞0且函數在區間(k，k+

3

4

)上存在極值，求實數k的取值范圍；
（Ⅱ）如果當x≥2時，不等式f(x)≥

a

x+2

恒成立，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）求證：n≥2，（2•3-2）（3•4-2）…[n（n+1）-2][（n+1）（n+2）-2]＞e^2n-3．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函數的導數，根據導數的符號判斷函數的單調性，從而得到函數的極值為f（1），再由函數f（x）在區間(k，k+

3

4

)（其中k＞0）上存在極值可得

k＜1＜k+ 3 4 k＞0

，由此求得實數k的取值范圍．
（Ⅱ）由題意可得x≥2時，

(x+2)(1+lnx)

x

≥a，根據導數的符號判斷函數的單調性，求出函數

(x+2)(1+lnx)

x

 最小值，從而得到實數a的取值范圍．
（Ⅲ）由（2）知：當a=3時，f(x)≥

3

x+2

恒成立，即lnx≥2-

6

x+2

，令 x=n（n+1）-2，則ln[n(n+1)-2]≥2-

6

n(n+1)

．可得 ln(2•3-2)≥2-

6

2•3

，ln(3•4-2)≥2-

6

3•4

，…ln[n(n+1)-2]≥2-

6

n(n+1)

，ln[(n+1)(n+2)-2]≥2-

6

(n+1)(n+2)

，把這n個不等式相加化簡即得所證．

解答：解（Ⅰ）因為 函數f（x）=

1+lnx

x

，x＞0，則 f′（x）=-

lnx

x2

，
當 0＜x＜1時，＞0；當 x＞1時，f′（x）＜0．
所以 f（x）在（0，1）上單調遞增；在（1，+∞）上單調遞減，
所以函數f（x）在 x=1處取得極大值；…．（2分）
因為函數f（x）在區間(k，k+

3

4

)（其中k＞0）上存在極值，
所以

k＜1＜k+ 3 4 k＞0

解得

1

4

＜k＜1；…．（4分）
（Ⅱ）不等式f(x)≥

a

x+2

，又x≥2，則

(x+2)(1+lnx)

x

≥a，記g(x)=

(x+2)(1+lnx)

x

，則g′(x)=

x-2lnx

x2

；…．（6分）
令h（x）=x-2lnx，則h′(x)=1-

2

x

，∵x≥2，h′（x）≥0，∴h（x）在[2，+∞）上單調遞增，∴h（x）_min=h（2）=2-2ln2＞0，
從而 g′（x）＞0，故g（x）在[2，+∞）上也單調遞增，所以g（x）_min=g（2）=2（1+ln2），
所以．a≤2（1+ln2）；…．（8分）
（Ⅲ）由（2）知：當a=3時，f(x)≥

3

x+2

恒成立，即1+lnx≥

3x

x+2

，lnx≥2-

6

x+2

，
令 x=n（n+1）-2，則ln[n(n+1)-2]≥2-

6

n(n+1)

；…．（10分）
所以 ln(2•3-2)≥2-

6

2•3

，ln(3•4-2)≥2-

6

3•4

，…ln[n(n+1)-2]≥2-

6

n(n+1)

，
，ln[(n+1)(n+2)-2]≥2-

6

(n+1)(n+2)

n個不等式相加得ln(2•3-2)+ln(3•4-2)…+ln(n(n+1)-2)+ln((n+1)(n+2)-2)＞2n-3+

6

n+2

＞2n-3
即（2•3-2）（3•4-2）…（n（n+1）-2）（（n+1）（n+2）-2）＞e^2n-3…．（14分）

點評：本題主要考查利用導數研究函數的單調性，函數在某點取得極值的條件，函數的恒成立問題，不等式性質的應用，屬于難題．