Question

已知數(shù)列{a_n}中a₁=2，前n項的和為S_n，且4tS_n+1-（3t+8）S_n=8t，其中t＜-3，n∈N*；
（1）證明數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列；
（2）判定{a_n}的單調(diào)性，并證明．

Answer 1

分析：（1）由4tS_n+1-（3t+8）S_n=8t按照通項與前n項和間的關(guān)系，分當(dāng)n=1和n≥2兩種情況探求得4ta_n+1-（3t+8）a_n=0，進(jìn)而變形得

an+1

an

=

3t+8

4t

（n≥2，∴t＜-3）由等比數(shù)列的定義判斷．
（2）因為是正項數(shù)列，可用作商比較法

an+1

an

=

3t+8

4t

=

3

4

+

2

t

＜1得到{a_n}為遞減數(shù)列．

解答：解（1）證明：∵4tS_n+1-（3t+8）S_n=8t①
當(dāng)n=1時，4t（a₁+a₂）-（3t+8）a₁=8t而a₁=2?a2=

8+3t

2t

（2分）
又∵4tS_n-（3t+8）S_n-1=8t②（n≥2）
由①②得4ta_n+1-（3t+8）a_n=0
即

an+1

an

=

3t+8

4t

（n≥2，∴t＜-3）（4分）
而

3t+8

4t

≠0又

a2

a1

=

8+3t

4t

∴{a_n}是等比數(shù)列（8分）

（2）∵a_n=2（

3t+8

4t

)n-1＞0＞0（∵t＜-3）

an+1

an

=

3t+8

4t

=

3

4

+

2

t

（12分）
∵t＜-3∴

an+1

an

∈(

1

12

，

3

4

)（14分）
則

an+1

an

＜1?an+1＜an
∴{a_n}為遞減數(shù)列（16分）

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列的通項與前n項和之間的關(guān)系和判斷數(shù)列的方法，一般用定義或通項公式，證明數(shù)列是單調(diào)數(shù)列時往往用比較法．