Question

已知定義在[-2，2]上的函數y=f（x）和y=g（x），其圖象如圖所示：給出下列四個命題：
①方程f[g（x）]=0有且僅有6個根    ②方程g[f（x）]=0有且僅有3個根
③方程f[f（x）]=0有且僅有5個根    ④方程g[g（x）]=0有且僅有4個根
其中正確命題的序號（　　）

A．①②③

B．②③④

C．①②④

D．①③④

Answer 1

分析：通過f（x）=0可知函數有三個解，g（x）=0有2個解，具體分析 ①②③④推出正確結論．

解答：解：由圖象可得-2≤g（x）≤2，-2≤f（x）≤2，
①由于滿足方程f[g（x）]=0 的g（x）有三個不同值，由于每個值g（x）對應了2個x值，
故滿足f[g（x）]=0的x值有6個，即方程f[g（x）]=0有且僅有6個根，故①正確．
②由于滿足方程g[f（x）]=0的f（x）有2個不同的值，從圖中可知，每一個值f（x），
一個f（x）的值在（-2，-1）上，令一個f（x）的值在（0，1）上．
當f（x）的值在（-2，-1）上時，原方程有一個解；f（x）的值在（0，1）上，原方程有3個解．
故滿足方程g[f（x）]=0的x值有4個，故②不正確．
③由于滿足方程f[f（x）]=0的f（x）有3個不同的值，從圖中可知，一個f（x）等于0，
一個f（x）∈（-2，-1），一個f（x）∈（1，2）．
而當f（x）=0對應了3個不同的x值；當f（x）∈（-2，-1）時，只對應一個x值；
當f（x）∈（1，2）時，也只對應一個x值．
故滿足方程f[f（x）]=0的x值共有5個，故③正確．
④由于滿足方程g[g（x）]=0 的g（x）值有2個，而結合圖象可得，每個g（x）值對應2個不同的x值，
故滿足方程g[g（x）]=0 的x值有4個，即方程g[g（x）]=0有且僅有4個根，故④正確．
故選 D．

點評：本題考查根的存在性及根的個數判斷，函數的圖象，考查邏輯思維能力及識別圖象的能力，是中檔題．