Question

已知，點.

（Ⅰ）若,求函數的單調遞增區間；

（Ⅱ）若函數的導函數滿足：當時，有恒成立，求函數 的解析表達式；

（Ⅲ）若，函數在和處取得極值，且，證明： 與不可能垂直。

Answer 1

解：(Ⅰ) ,

令得，解得

故的增區間和

（Ⅱ）(x)=

當x∈[-1，1]時，恒有|(x)|≤.         

故有≤(1)≤，≤(-1)≤，

及≤(0)≤,                                                      

即       

①+②，得≤≤，                                        

又由③，得=，將上式代回①和②，得

故.                                                 

（Ⅲ）假設⊥，

即=

故(s-a)(s-b)(t-a)(t-b)=-1
[st-(s+t)a+a²][st-(s+t)b+b²]=-1,

由s，t為(x)=0的兩根可得，s+t=(a+b), st=, (0<a<b)

從而有ab(a-b)²=9.   

這樣

即 ≥2，這與<2矛盾.

故與不可能垂直.